Moduł drugi, lekcja druga Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybciej rozwijać nawiasy, rozkładać wyrażenia na czynniki oraz upraszczać działania algebraiczne. W tej lekcji poznasz kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów, a także nauczysz się rozpoznawać te wzory w odwrotnej postaci i stosować wyrażenia sprzężone.
Ważne
Wzór można stosować w dwóch kierunkach: rozwijać nawias albo rozkładać wyrażenie na czynniki. Zawsze najpierw rozpoznaj, które wyrażenia pełnią rolę pierwszego i drugiego składnika.
Sekcja jeden Trzy podstawowe wzory
Kwadrat sumy
Kwadrat sumy a i b jest równy a do kwadratu plus dwa a b plus b do kwadratu.
Kwadrat różnicy
Kwadrat różnicy a i b jest równy a do kwadratu minus dwa a b plus b do kwadratu.
Różnica kwadratów
A do kwadratu minus b do kwadratu jest równe iloczynowi różnicy a i b oraz sumy a i b.
Sekcja dwa Skąd bierze się wyraz środkowy
Kwadrat sumy oznacza iloczyn dwóch jednakowych nawiasów. Po zastosowaniu prawa rozdzielności otrzymujemy cztery iloczyny, z których dwa są wyrazami podobnymi. Nawias a plus b razy nawias a plus b jest równy a do kwadratu plus a b plus a b plus b do kwadratu, czyli a do kwadratu plus dwa a b plus b do kwadratu.
Dlatego w kwadracie sumy i kwadracie różnicy nie wolno pomijać wyrazu środkowego.
Sekcja trzy Kwadrat sumy
Przykład jeden — przykład podstawowy
Rozwiń kwadrat sumy: kwadrat sumy iks i czterech.
Kwadrat sumy iks i czterech jest równy iks do kwadratu plus dwa razy iks razy cztery plus cztery do kwadratu, czyli iks do kwadratu plus osiem iks plus szesnaście.
Wynik: iks do kwadratu plus osiem iks plus szesnaście.
Przykład dwa — dwa wyrażenia algebraiczne
Rozwiń kwadrat sumy: kwadrat sumy trzech a i dwóch b.
Pierwszym składnikiem jest trzy a, a drugim dwa b. Kwadrat sumy trzech a i dwóch b jest równy dziewięć a do kwadratu plus dwanaście a b plus cztery b do kwadratu.
Sekcja cztery Kwadrat różnicy
Przykład trzy — znak wyrazu środkowego
Rozwiń kwadrat różnicy: kwadrat różnicy dwóch iks i pięciu.
Kwadrat różnicy dwóch iks i pięciu jest równy cztery iks do kwadratu minus dwadzieścia iks plus dwadzieścia pięć.
Wyraz środkowy jest ujemny, ale ostatni wyraz pozostaje dodatni, ponieważ jest kwadratem liczby pięć.
Przykład cztery — uproszczenie wyrażenia
Uprość wyrażenie: trzy razy kwadrat różnicy a i dwóch minus trzy a do kwadratu.
Trzy razy kwadrat różnicy a i dwóch minus trzy a do kwadratu jest równe trzy razy nawias a do kwadratu minus cztery a plus cztery, minus trzy a do kwadratu, czyli minus dwanaście a plus dwanaście.
Sekcja pięć Różnica kwadratów
Przykład pięć — rozkład na czynniki
Rozłóż wyrażenie na czynniki: dwadzieścia pięć iks do kwadratu minus czterdzieści dziewięć.
Oba składniki są kwadratami. Dwadzieścia pięć iks do kwadratu minus czterdzieści dziewięć jest równe kwadratowi pięciu iks minus kwadratowi siedmiu, czyli iloczynowi pięć iks minus siedem oraz pięć iks plus siedem.
Przykład sześć — iloczyn wyrażeń sprzężonych
Uprość iloczyn: nawias trzy a minus cztery b razy nawias trzy a plus cztery b.
Wyrażenia różnią się tylko znakiem między składnikami, dlatego są wyrażeniami sprzężonymi. Iloczyn różnicy trzech a i czterech b oraz sumy trzech a i czterech b jest równy dziewięć a do kwadratu minus szesnaście b do kwadratu.
Sekcja sześć Rozpoznawanie wzorów w odwrotnej postaci
Przed zapisaniem trójmianu jako kwadratu sumy lub różnicy sprawdź trzy warunki:
- pierwszy wyraz jest kwadratem;
- ostatni wyraz jest kwadratem;
- wyraz środkowy jest równy podwojonemu iloczynowi podstaw tych kwadratów.
Przykład siedem — rozpoznawanie kwadratu
Zapisz wyrażenie w postaci kwadratu: dziewięć iks do kwadratu minus dwanaście iks plus cztery.
Pierwszy wyraz jest kwadratem trzech iks, a ostatni jest kwadratem liczby dwa. Wyraz środkowy jest równy minus dwa razy trzy iks razy dwa. Dziewięć iks do kwadratu minus dwanaście iks plus cztery jest równe kwadratowi różnicy trzech iks i dwóch.
Przykład osiem — sprawdzenie wyrazu środkowego
Czy wyrażenie jest kwadratem sumy? iks do kwadratu plus sześć iks plus cztery.
Pierwszy i ostatni wyraz są kwadratami, ale podwojony iloczyn iksa i dwóch jest równy cztery iks, a nie sześć iks. Odpowiedź: to wyrażenie nie jest kwadratem sumy iksa i dwóch.
Sekcja siedem Usuwanie niewymierności z mianownika za pomocą wyrażenia sprzężonego
Gdy mianownik ma postać sumy lub różnicy zawierającej pierwiastek, możemy pomnożyć licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone. W mianowniku powstaje wtedy różnica kwadratów.
Przykład dziewięć — wyrażenie sprzężone
Usuń niewymierność z mianownika: trzy podzielone przez pierwiastek z pięciu minus jeden.
Wyrażeniem sprzężonym do pierwiastek z pięciu minus jeden jest pierwiastek z pięciu plus jeden. Trzy podzielone przez pierwiastek z pięciu minus jeden mnożymy przez pierwiastek z pięciu plus jeden podzielone przez pierwiastek z pięciu plus jeden. Otrzymujemy trzy razy nawias pierwiastek z pięciu plus jeden, podzielone przez pięć minus jeden, czyli trzy razy nawias pierwiastek z pięciu plus jeden, podzielone przez cztery.
Wynik: trzy razy nawias pierwiastek z pięciu plus jeden, podzielone przez cztery.
Sekcja osiem Łączenie kilku wzorów
Przykład dziesięć — przykład na poziomie maturalnym
Uprość wyrażenie: kwadrat sumy dwóch iks i trzech minus iloczyn dwa iks minus trzy oraz dwa iks plus trzy.
Rozwijamy kwadrat sumy i korzystamy z różnicy kwadratów. Kwadrat sumy dwóch iks i trzech jest równy cztery iks do kwadratu plus dwanaście iks plus dziewięć. Iloczyn dwa iks minus trzy oraz dwa iks plus trzy jest równy cztery iks do kwadratu minus dziewięć.
Cztery iks do kwadratu plus dwanaście iks plus dziewięć minus nawias cztery iks do kwadratu minus dziewięć jest równe dwanaście iks plus osiemnaście.
Wynik: dwanaście iks plus osiemnaście.
Sekcja dziewięć Typowe błędy
Typowe błędy
Pomijanie wyrazu środkowego
Kwadrat sumy a i b nie jest równy a do kwadratu plus b do kwadratu.
Ujemny ostatni wyraz w kwadracie różnicy
W kwadracie różnicy ostatni wyraz jest dodatni, ponieważ jest kwadratem drugiego składnika.
Stosowanie różnicy kwadratów do sumy kwadratów
W liczbach rzeczywistych nie stosujemy wzoru na różnicę kwadratów do wyrażenia a do kwadratu plus b do kwadratu.
Rozpoznanie kwadratu bez sprawdzenia wyrazu środkowego
Sam fakt, że pierwszy i ostatni wyraz są kwadratami, nie wystarcza. Trzeba jeszcze sprawdzić podwojony iloczyn.
Użycie tego samego znaku zamiast znaku przeciwnego w wyrażeniu sprzężonym
Do wyrażenia z minusem dobieramy wyrażenie z plusem, a do wyrażenia z plusem — wyrażenie z minusem.
Sekcja dziesięć Ćwiczenia samodzielne
Wykonaj każde ćwiczenie samodzielnie, a następnie rozwiń odpowiedź.
Odpowiedź do ćwiczenia jeden
Iks do kwadratu plus czternaście iks plus czterdzieści dziewięć.
Odpowiedź do ćwiczenia dwa
Dziewięć a do kwadratu minus dwadzieścia cztery a plus szesnaście.
Odpowiedź do ćwiczenia trzy
Iloczyn cztery iks minus dziewięć oraz cztery iks plus dziewięć.
Odpowiedź do ćwiczenia cztery
Kwadrat sumy dwóch a i trzech.
Odpowiedź do ćwiczenia pięć
Minus jeden.
Sekcja jedenaście Zadanie autorskie w stylu maturalnym
Zadanie autorskie w stylu maturalnym
Po uproszczeniu wyrażenie: kwadrat różnicy trzech iks i dwóch minus iloczyn iks minus pięć oraz iks plus pięć
jest równe:
- Odpowiedź A: osiem iks do kwadratu minus dwanaście iks plus dwadzieścia dziewięć.
- Odpowiedź B: osiem iks do kwadratu minus dwanaście iks minus dwadzieścia jeden.
- Odpowiedź C: dziesięć iks do kwadratu minus dwanaście iks plus dwadzieścia dziewięć.
- Odpowiedź D: osiem iks do kwadratu minus sześć iks plus dwadzieścia dziewięć.
Wskazówka
Rozwiń kwadrat różnicy i zastosuj wzór na różnicę kwadratów. Następnie pamiętaj o zmianie znaków po usunięciu nawiasu poprzedzonego minusem.
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy kwadrat różnicy. Kwadrat różnicy trzech iks i dwóch jest równy dziewięć iks do kwadratu minus dwanaście iks plus cztery.
Stosujemy różnicę kwadratów. Iloczyn iks minus pięć oraz iks plus pięć jest równy iks do kwadratu minus dwadzieścia pięć.
Odejmujemy drugie wyrażenie. Dziewięć iks do kwadratu minus dwanaście iks plus cztery minus nawias iks do kwadratu minus dwadzieścia pięć jest równe dziewięć iks do kwadratu minus dwanaście iks plus cztery minus iks do kwadratu plus dwadzieścia pięć.
Redukujemy wyrazy podobne. Osiem iks do kwadratu minus dwanaście iks plus dwadzieścia dziewięć.
Poprawna odpowiedź: A.
Sprawdzana umiejętność: stosowanie kwadratu różnicy, różnicy kwadratów, usuwanie nawiasów i redukcja wyrazów podobnych. Typowy błąd: zapisanie minus dwadzieścia pięć po usunięciu nawiasu zamiast plus dwadzieścia pięć.
Sekcja dwanaście Podsumowanie lekcji
Najważniejsze zasady
- Kwadrat sumy i kwadrat różnicy zawsze zawierają trzy wyrazy.
- W kwadracie różnicy wyraz środkowy jest ujemny, a ostatni dodatni.
- Różnicę kwadratów zapisujemy jako iloczyn różnicy i sumy.
- Przy rozpoznawaniu kwadratu sprawdzamy także wyraz środkowy.
- Wyrażenie sprzężone pozwala utworzyć różnicę kwadratów i usunąć niewymierność z mianownika.