Moduł pierwszy, lekcja piąta Logarytmy – definicja i proste obliczenia
Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę? W tej lekcji poznasz definicję logarytmu, najważniejsze wartości i własności, obliczysz logarytmy o wynikach całkowitych i ułamkowych oraz wykorzystasz definicję do wyznaczania niewiadomej.
Sekcja jeden Definicja logarytmu
Zapamiętaj
Logarytm liczby b przy podstawie a jest równy c wtedy i tylko wtedy, gdy a do potęgi c jest równe b.
W zbiorze liczb rzeczywistych muszą być spełnione trzy warunki: podstawa a jest większa od zera, podstawa a jest różna od jednego, a liczba logarytmowana b jest większa od zera.
- podstawa logarytmu musi być dodatnia;
- podstawa logarytmu nie może być równa jeden;
- liczba lub wyrażenie logarytmowane musi być dodatnie.
Najważniejsze pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę b?
Przykład jeden
Oblicz: logarytm liczby osiem przy podstawie dwa jest równy trzy.
Sprawdzenie: dwa do potęgi trzeciej jest równe osiem.
Sekcja dwa Najważniejsze wartości i działania odwrotne
Zapamiętaj
Logarytm liczby jeden: logarytm liczby jeden przy podstawie a jest równy zero.
Logarytm podstawy: logarytm liczby a przy podstawie a jest równy jeden.
Logarytm potęgi podstawy: logarytm liczby a do potęgi x przy podstawie a jest równy x.
Potęgowanie i logarytmowanie jako działania odwrotne: a do potęgi logarytm liczby b przy podstawie a jest równe b.
We wszystkich wzorach podstawa a musi być dodatnia i różna od jednego. W ostatnim wzorze liczba b musi być dodatnia.
Sekcja trzy Obliczanie logarytmu z definicji
Aby obliczyć logarytm z definicji, przedstawiamy liczbę logarytmowaną jako potęgę podstawy. Następnie odczytujemy wykładnik tej potęgi.
Przykład dwa
Oblicz: logarytm jednej dwudziestej piątej przy podstawie pięć jest równy minus dwa.
Uzasadnienie: jedna dwudziesta piąta jest równa pięć do potęgi minus drugiej.
Przykład trzy
Oblicz: logarytm liczby dwa przy podstawie cztery jest równy jednej drugiej.
Uzasadnienie: cztery do potęgi jedna druga jest równe pierwiastek z czterech, czyli dwa.
Wynik logarytmu nie musi być liczbą całkowitą.
Przykład cztery
Oblicz: logarytm liczby osiem przy podstawie jedna druga jest równy minus trzy.
Uzasadnienie: jedna druga w nawiasie do potęgi minus trzeciej jest równa osiem.
Podstawa logarytmu może być dodatnia i mniejsza od jednego. Nadal nie może być równa jeden.
Przykład pięć
Oblicz: logarytm liczby zero przecinek zero jeden przy podstawie dziesięć jest równy minus dwa.
Uzasadnienie: zero przecinek zero jeden jest równe dziesięć do potęgi minus drugiej.
Logarytm o podstawie dziesięć nazywamy logarytmem dziesiętnym. Często zapisuje się go bez podawania podstawy.
Sekcja cztery Najważniejsze własności logarytmów
Zapamiętaj
Logarytm iloczynu: logarytm iloczynu x razy y przy podstawie a jest równy sumie logarytmu x i logarytmu y przy podstawie a.
Logarytm ilorazu: logarytm ilorazu x podzielonego przez y przy podstawie a jest równy różnicy logarytmu x i logarytmu y przy podstawie a.
Logarytm potęgi: logarytm liczby x do potęgi r przy podstawie a jest równy r razy logarytm liczby x przy podstawie a.
We wszystkich wzorach podstawa a musi być dodatnia i różna od jednego, a liczby iks i igrek muszą być dodatnie.
Przykład sześć
Oblicz: logarytm liczby cztery przy podstawie dwa plus logarytm liczby osiem przy podstawie dwa jest równy pięć.
Pierwszy sposób: logarytm liczby cztery przy podstawie dwa jest równy dwa, a logarytm liczby osiem przy podstawie dwa jest równy trzy. Suma jest równa pięć.
Drugi sposób: suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu. Logarytm liczby trzydzieści dwa przy podstawie dwa jest równy pięć.
Przykład siedem
Oblicz: logarytm liczby pięćdziesiąt cztery przy podstawie trzy minus logarytm liczby dwa przy podstawie trzy jest równy trzy.
Rozwiązanie: różnica logarytmów jest równa logarytmowi ilorazu. Pięćdziesiąt cztery podzielone przez dwa jest równe dwadzieścia siedem. Logarytm liczby dwadzieścia siedem przy podstawie trzy jest równy trzy.
Przykład osiem
Oblicz: logarytm liczby osiem do potęgi drugiej przy podstawie dwa jest równy sześć.
Rozwiązanie: logarytm liczby osiem do potęgi drugiej przy podstawie dwa jest równy dwa razy logarytm liczby osiem przy podstawie dwa, czyli dwa razy trzy, czyli sześć.
Sekcja pięć Łączenie własności w jednym obliczeniu
Przykład dziewięć
Uprość wyrażenie: dwa razy logarytm liczby trzy przy podstawie dwa plus logarytm liczby cztery trzecie przy podstawie dwa jest równy logarytmowi liczby dwanaście przy podstawie dwa.
Rozwiązanie: Najpierw korzystamy z własności logarytmu potęgi. Dwa razy logarytm liczby trzy przy podstawie dwa jest równy logarytmowi liczby dziewięć przy podstawie dwa.
Następnie łączymy sumę logarytmów. Logarytm liczby dziewięć przy podstawie dwa plus logarytm liczby cztery trzecie przy podstawie dwa jest równy logarytmowi liczby dwanaście przy podstawie dwa.
Nie każdy poprawnie uproszczony logarytm ma wartość całkowitą. Tutaj najprostszą postacią jest logarytm liczby dwanaście przy podstawie dwa.
Sekcja sześć Zastosowanie definicji do wyznaczania niewiadomej
Przykład dziesięć
Wyznacz iks: logarytm liczby iks przy podstawie dwa jest równy pięć. Iks jest równy trzydzieści dwa.
Najpierw ustalamy warunek: iks jest większe od zera.
Korzystamy z definicji logarytmu: iks jest równe dwa do potęgi piątej, czyli trzydzieści dwa.
Liczba trzydzieści dwa spełnia ustalony warunek.
Przykład jedenaście
Wyznacz iks: logarytm wyrażenia iks minus jeden przy podstawie trzy jest równy dwa. Iks jest równy dziesięć.
Ustalamy warunek: iks minus jeden jest większe od zera, więc iks jest większe od jednego.
Korzystamy z definicji logarytmu: iks minus jeden jest równe trzy do potęgi drugiej, czyli dziewięć.
Rozwiązujemy otrzymane równanie: iks jest równe dziesięć.
Liczba dziesięć spełnia warunek.
Sekcja siedem Materiał dodatkowy: zmiana podstawy logarytmu
Zapamiętaj
Logarytm możemy zapisać przy użyciu innej dopuszczalnej podstawy c. Logarytm liczby b przy podstawie a jest równy logarytmowi liczby b przy podstawie c podzielonemu przez logarytm liczby a przy podstawie c.
Podstawa c musi być dodatnia i różna od jednego. Ten wzór jest materiałem dodatkowym. Przydaje się przede wszystkim podczas korzystania z kalkulatora lub narzędzia obliczeniowego, które nie udostępnia wybranej podstawy.
Sekcja osiem Typowe błędy
Typowy błąd
Logarytmowanie liczby niedodatniej
W zbiorze liczb rzeczywistych nie obliczamy logarytmu z liczby ujemnej ani z zera. Liczba lub wyrażenie logarytmowane musi być dodatnie.
Niedopuszczalna podstawa
Podstawa logarytmu nie może być równa zero, liczbie ujemnej ani jeden.
Założenie, że wynik musi być liczbą całkowitą
Wynik logarytmu może być liczbą ujemną albo ułamkową. Przykładowo logarytm liczby dwa przy podstawie cztery jest równy jednej drugiej.
Nieprawidłowe rozdzielanie sumy lub różnicy
Logarytm sumy nie jest równy sumie logarytmów, a logarytm różnicy nie jest równy różnicy logarytmów. Logarytm sumy iks plus igrek przy podstawie a nie jest równy sumie logarytmu iks i logarytmu igrek przy podstawie a.
Pomijanie dziedziny
Przed wyznaczaniem niewiadomej sprawdzamy, czy każde wyrażenie znajdujące się pod logarytmem jest dodatnie. Po wykonaniu obliczeń weryfikujemy otrzymany wynik.
Sekcja dziewięć Zadanie autorskie w stylu maturalnym
Wartość wyrażenia: logarytm liczby sześć przy podstawie trzy plus logarytm liczby osiemnaście przy podstawie trzy minus logarytm liczby cztery przy podstawie trzy jest równa trzy.
- Odpowiedź A: jeden.
- Odpowiedź B: dwa.
- Odpowiedź C: trzy.
- Odpowiedź D: cztery.
Wskazówka
Zamień sumę logarytmów na logarytm iloczynu, a następnie odejmowanie logarytmów na logarytm ilorazu.
Rozwiązanie krok po kroku
Łączymy sumę logarytmów w logarytm iloczynu: logarytm liczby sześć przy podstawie trzy plus logarytm liczby osiemnaście przy podstawie trzy jest równy logarytmowi iloczynu sześć razy osiemnaście przy podstawie trzy.
Następnie wykorzystujemy własność logarytmu ilorazu: logarytm iloczynu sześć razy osiemnaście przy podstawie trzy minus logarytm liczby cztery przy podstawie trzy jest równy logarytmowi ilorazu sześć razy osiemnaście podzielone przez cztery przy podstawie trzy.
Obliczamy wartość ilorazu: sześć razy osiemnaście podzielone przez cztery jest równe dwadzieścia siedem.
Otrzymujemy: logarytm liczby dwadzieścia siedem przy podstawie trzy jest równy trzy.
Poprawna odpowiedź: C.
Sprawdzana umiejętność
Stosowanie własności logarytmu iloczynu i ilorazu oraz obliczanie logarytmu z definicji.
Typowy błąd
Po połączeniu logarytmów trzeba zachować właściwą kolejność działań. Odejmowanie logarytmu odpowiada dzieleniu przez jego argument, dlatego otrzymujemy iloraz sześć razy osiemnaście podzielone przez cztery.
Podsumowanie lekcji
- Logarytm jest wykładnikiem potęgi.
- Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od jednego.
- Liczba lub wyrażenie logarytmowane musi być dodatnie.
- Wynik logarytmu może być liczbą całkowitą, ujemną albo ułamkową.
- Podstawa logarytmu może być większa od jednego albo dodatnia i mniejsza od jednego.
- Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów, a logarytm ilorazu — różnicą logarytmów.
- Logarytm potęgi pozwala przenieść wykładnik przed znak logarytmu.
- Przy wyznaczaniu niewiadomej zawsze ustalamy warunki i sprawdzamy wynik.