Moduł czternasty, lekcja druga Sześcian i prostopadłościan – pole powierzchni, objętość i przekątne
W poprzedniej lekcji nauczyliśmy się rozpoznawać elementy graniastosłupa i czytać rysunki przestrzenne. Teraz przechodzimy do dwóch najprostszych graniastosłupów: sześcianu i prostopadłościanu. Na tych bryłach nauczymy się obliczać pole powierzchni, objętość oraz przekątne. Najważniejszy pomysł tej lekcji będzie powtarzał się w całej stereometrii: najpierw znajdź odpowiedni trójkąt prostokątny ukryty w bryle, a dopiero potem wykonuj obliczenia.
Cel lekcji
Po tej lekcji będziesz umieć obliczać pole powierzchni i objętość sześcianu oraz prostopadłościanu, wyznaczać brakujące krawędzie z podanego pola lub objętości, obliczać przekątną ściany i przekątną bryły oraz rozwiązywać zadania wieloetapowe łączące te umiejętności.
Sekcja jeden Sześcian i prostopadłościan – co je łączy?
Prostopadłościan jest graniastosłupem prostym, którego wszystkie ściany są prostokątami. Jego trzy wymiary będziemy oznaczać najczęściej literami a, b i c. Sześcian jest szczególnym prostopadłościanem. Wszystkie jego ściany są kwadratami, a wszystkie krawędzie mają tę samą długość a.
Od szczególnego przypadku do ogólnej zasady
Najpierw nauczymy się liczyć na sześcianie, gdzie wszystkie krawędzie są równe. Potem przejdziemy do prostopadłościanu. W następnej lekcji uogólnimy te pomysły na dowolny graniastosłup.
Sekcja dwa Pole powierzchni sześcianu
Sześcian ma sześć jednakowych kwadratowych ścian. Jeżeli krawędź sześcianu ma długość a, to pole jednej ściany jest równe: a do kwadratu.
Ponieważ takich ścian jest sześć, pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi: P z indeksem c równa się sześć a do kwadratu.
Otwórz rysunek 1 „Sześcian i jego siatka” w pełnym rozmiarze (nowa karta)
Nie zaczynaj od zapamiętywania wzoru
Jeśli zapomnisz wzoru, wystarczy pamiętać, że sześcian ma sześć jednakowych kwadratowych ścian. Wtedy wzór P z indeksem c równa się sześć a do kwadratu można odtworzyć w kilka sekund.
Sekcja trzy Objętość sześcianu
Objętość sześcianu można rozumieć jako iloczyn pola kwadratowej podstawy i wysokości bryły. Podstawa ma pole a do kwadratu, a wysokość ma długość a. V równa się a do kwadratu razy a, czyli a do potęgi trzeciej.
Przykład 1. Pole powierzchni i objętość sześcianu
Krawędź sześcianu ma długość 5. Oblicz jego pole powierzchni całkowitej i objętość. Pole powierzchni: P z indeksem c równa się sześć razy pięć do kwadratu, czyli sto pięćdziesiąt.
Objętość: V równa się pięć do potęgi trzeciej, czyli sto dwadzieścia pięć.
Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej wynosi 150 jednostek kwadratowych, a objętość 125 jednostek sześciennych.
Sekcja cztery Pole powierzchni prostopadłościanu
Prostopadłościan o krawędziach długości a, b i c ma trzy pary przystających ścian: dwie o polu a razy b, dwie o polu a razy c i dwie o polu b razy c. P z indeksem c równa się dwa a b plus dwa a c plus dwa b c.
Po wyłączeniu liczby 2 przed nawias: P z indeksem c równa się dwa razy, otwórz nawias, a b plus a c plus b c, zamknij nawias.
Otwórz rysunek 2 „Prostopadłościan i jego siatka” w pełnym rozmiarze (nowa karta)
Sekcja pięć Objętość prostopadłościanu
Jeżeli za podstawę przyjmiemy prostokąt o bokach a i b, to jego pole wynosi a razy b, a wysokość prostopadłościanu ma długość c. V równa się a b razy c, czyli a b c.
Przykład 2. Pole powierzchni i objętość prostopadłościanu
Prostopadłościan ma krawędzie długości 3, 4 i 8. Oblicz jego pole powierzchni całkowitej oraz objętość. P z indeksem c równa się dwa razy, otwórz nawias, trzy razy cztery plus trzy razy osiem plus cztery razy osiem, zamknij nawias.
P z indeksem c równa się dwa razy sześćdziesiąt osiem, czyli sto trzydzieści sześć.
V równa się trzy razy cztery razy osiem, czyli dziewięćdziesiąt sześć.
Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej wynosi 136 jednostek kwadratowych, a objętość 96 jednostek sześciennych.
Sekcja sześć Zadania odwrotne – gdy nie znamy krawędzi
W zadaniu nie zawsze otrzymujemy długość krawędzi. Czasem podane jest pole powierzchni albo objętość i trzeba z nich wyznaczyć brakujący wymiar.
Przykład 3. Krawędź sześcianu z pola powierzchni
Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 216. Oblicz długość jego krawędzi i objętość. Sześć a do kwadratu równa się dwieście szesnaście.
a do kwadratu równa się trzydzieści sześć, więc a równa się sześć.
Długość krawędzi jest dodatnia, dlatego wybieramy wartość 6. V równa się sześć do potęgi trzeciej, czyli dwieście szesnaście.
Odpowiedź: krawędź sześcianu ma długość 6, a jego objętość wynosi 216.
Przykład 4. Brakująca krawędź prostopadłościanu z objętości
Prostopadłościan ma krawędzie podstawy długości 6 i 8, a jego objętość wynosi 480. Oblicz trzecią krawędź. Sześć razy osiem razy c równa się czterysta osiemdziesiąt.
Czterdzieści osiem c równa się czterysta osiemdziesiąt, więc c równa się dziesięć.
Odpowiedź: trzecia krawędź ma długość 10.
Sekcja siedem Przypomnienie – szczególne trójkąty prostokątne
W stereometrii bardzo często po zaznaczeniu odpowiednich odcinków otrzymujemy trójkąt prostokątny. Zanim użyjesz trygonometrii, zawsze sprawdź, czy nie jest to jeden z dwóch szczególnych trójkątów.
Dwa schematy, które warto rozpoznawać od razu
W trójkącie o kątach czterdzieści pięć stopni, czterdzieści pięć stopni, dziewięćdziesiąt stopni boki są w stosunku: jeden do jednego do pierwiastka z dwóch.
W trójkącie o kątach trzydzieści stopni, sześćdziesiąt stopni, dziewięćdziesiąt stopni boki leżące naprzeciw tych kątów są w stosunku: jeden do pierwiastka z trzech do dwóch.
W tej lekcji bezpośrednio wykorzystamy pierwszy schemat. Drugi będzie szczególnie przydatny później przy ostrosłupach i kątach w stereometrii.
Sekcja osiem Przekątna ściany sześcianu
Każda ściana sześcianu jest kwadratem o boku a. Przekątna tej ściany jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o dwóch równych przyprostokątnych długości a.
Otwórz rysunek 3 „Przekątna ściany sześcianu” w pełnym rozmiarze (nowa karta)
Z twierdzenia Pitagorasa: d z indeksem s do kwadratu równa się a do kwadratu plus a do kwadratu, czyli dwa a do kwadratu.
d z indeksem s równa się a pierwiastek z dwóch.
Nie musisz za każdym razem liczyć od początku
Po wyprowadzeniu wzoru możesz rozpoznawać na kwadratowej ścianie schemat czterdzieści pięć stopni, czterdzieści pięć stopni, dziewięćdziesiąt stopni i od razu zapisać, że przekątna kwadratu o boku a ma długość a pierwiastek z dwóch.
Sekcja dziewięć Przekątna sześcianu – drugi trójkąt prostokątny
Przekątna sześcianu łączy dwa przeciwległe wierzchołki bryły. Aby ją obliczyć, korzystamy z przekątnej ściany, którą już znamy.
Otwórz rysunek 4 „Przekątna sześcianu” w pełnym rozmiarze (nowa karta)
d do kwadratu równa się, a pierwiastek z dwóch, do kwadratu, plus a do kwadratu.
d do kwadratu równa się dwa a do kwadratu plus a do kwadratu, czyli trzy a do kwadratu.
d równa się a pierwiastek z trzech.
Dwa różne odcinki – dwa różne wzory
Przekątna ściany sześcianu ma długość a pierwiastek z dwóch, natomiast przekątna całej bryły ma długość a pierwiastek z trzech. Zawsze najpierw sprawdź, o który odcinek pyta zadanie.
Sekcja dziesięć Przekątna prostopadłościanu
W prostopadłościanie o krawędziach a, b, c postępujemy dokładnie tak samo jak w sześcianie, ale długości krawędzi nie muszą być równe.
Otwórz rysunek 5 „Przekątna prostopadłościanu” w pełnym rozmiarze (nowa karta)
Krok 1. Przekątna podstawy. p do kwadratu równa się a do kwadratu plus b do kwadratu.
Krok 2. Przekątna bryły. d do kwadratu równa się p do kwadratu plus c do kwadratu.
Po podstawieniu p do kwadratu równa się a do kwadratu plus b do kwadratu: d do kwadratu równa się a do kwadratu plus b do kwadratu plus c do kwadratu.
d równa się pierwiastek z sumy a do kwadratu, b do kwadratu i c do kwadratu.
Przykład 5. Przekątna prostopadłościanu
Prostopadłościan ma krawędzie długości 3, 4 i 12. Oblicz długość jego przekątnej. d równa się pierwiastek z trzy do kwadratu plus cztery do kwadratu plus dwanaście do kwadratu.
d równa się pierwiastek ze stu sześćdziesięciu dziewięciu, czyli trzynaście.
Odpowiedź: przekątna prostopadłościanu ma długość 13.
Sekcja jedenaście Jak rozwiązywać zadania z przekątnymi?
Plan działania
Krok 1. Zaznacz albo nazwij odcinek, którego szukasz. Krok 2. Znajdź trójkąt prostokątny, którego ten odcinek jest bokiem. Krok 3. Sprawdź, czy znasz pozostałe dwa boki tego trójkąta. Krok 4. Jeśli jednego z nich nie znasz, być może najpierw trzeba obliczyć przekątną ściany lub podstawy. Krok 5. Dopiero wtedy zastosuj twierdzenie Pitagorasa albo rozpoznaj szczególny trójkąt prostokątny.
Przykład 6. Od pola powierzchni do przekątnej sześcianu
Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 150. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu. Sześć a do kwadratu równa się sto pięćdziesiąt.
a do kwadratu równa się dwadzieścia pięć, więc a równa się pięć.
d równa się pięć pierwiastków z trzech.
Odpowiedź: przekątna sześcianu ma długość pięć pierwiastków z trzech.
Przykład 7. Od objętości do przekątnej prostopadłościanu
Prostopadłościan ma krawędzie podstawy długości 6 i 8 oraz objętość 480. Oblicz długość przekątnej bryły. Sześć razy osiem razy c równa się czterysta osiemdziesiąt, więc c równa się dziesięć.
d równa się pierwiastek z sześć do kwadratu plus osiem do kwadratu plus dziesięć do kwadratu.
d równa się pierwiastek z dwustu, czyli dziesięć pierwiastków z dwóch.
Odpowiedź: przekątna bryły ma długość dziesięć pierwiastków z dwóch.
Sekcja dwanaście Zadanie autorskie w stylu maturalnym
Prostopadłościan – od przekątnej do pola i objętości
Zadanie autorskie w stylu maturalnym. Podstawa prostopadłościanu jest prostokątem o bokach długości 6 i 8. Przekątna prostopadłościanu ma długość 26. Oblicz objętość oraz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
Wskazówka – do zadania autorskiego w stylu maturalnym
Najpierw oblicz przekątną podstawy. Następnie utwórz trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest przekątna bryły długości 26, a jedną przyprostokątną – przekątna podstawy.
Rozwiązanie krok po kroku – zadanie autorskie w stylu maturalnym
Krok 1. Przekątna podstawy. p równa się pierwiastek z sześć do kwadratu plus osiem do kwadratu, czyli dziesięć.
Krok 2. Wysokość prostopadłościanu. Dziesięć do kwadratu plus c do kwadratu równa się dwadzieścia sześć do kwadratu.
c do kwadratu równa się pięćset siedemdziesiąt sześć, więc c równa się dwadzieścia cztery.
Krok 3. Objętość. V równa się sześć razy osiem razy dwadzieścia cztery, czyli tysiąc sto pięćdziesiąt dwa.
Krok 4. Pole powierzchni całkowitej. P z indeksem c równa się dwa razy, otwórz nawias, sześć razy osiem plus sześć razy dwadzieścia cztery plus osiem razy dwadzieścia cztery, zamknij nawias.
P z indeksem c równa się siedemset sześćdziesiąt osiem.
Odpowiedź: objętość prostopadłościanu wynosi 1152 jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej 768 jednostek kwadratowych.
Sprawdzana umiejętność: rozpoznanie dwóch kolejnych trójkątów prostokątnych, wyznaczenie brakującej krawędzi prostopadłościanu oraz obliczenie jego objętości i pola powierzchni. Typowy błąd: potraktowanie przekątnej bryły jako wysokości prostopadłościanu albo próba użycia jej bez wcześniejszego rozpoznania odpowiedniego trójkąta prostokątnego.
Sekcja trzynaście Najczęstsze błędy
Na co uważać?
- Nie myl przekątnej ściany sześcianu a pierwiastek z dwóch z przekątną bryły a pierwiastek z trzech.
- W polu powierzchni prostopadłościanu każda para przystających ścian występuje dwa razy.
- W twierdzeniu Pitagorasa dodajemy kwadraty długości boków, a nie same długości.
- Jeżeli z równania otrzymasz dwie wartości przeciwne, długość krawędzi musi być dodatnia.
- Objętość zapisujemy w jednostkach sześciennych, a pole powierzchni w jednostkach kwadratowych.
- Nie podstawiaj automatycznie do gotowego wzoru na przekątną. Najpierw upewnij się, który odcinek w bryle jest szukany.
Sekcja czternaście Ćwiczenia do samodzielnego wykonania
Rozwiąż każde ćwiczenie samodzielnie, a następnie rozwiń „Rozwiązanie krok po kroku” i porównaj swój tok rozumowania.
Ćwiczenie jeden. Sześcian
Krawędź sześcianu ma długość 4. Oblicz jego pole powierzchni całkowitej, objętość, przekątną ściany i przekątną bryły.
Rozwiązanie krok po kroku – ćwiczenie jeden
Krok 1. Pole powierzchni całkowitej. Sześcian ma sześć jednakowych kwadratowych ścian.
P z indeksem c równa się sześć razy cztery do kwadratu, czyli dziewięćdziesiąt sześć.
Krok 2. Objętość.
V równa się cztery do potęgi trzeciej, czyli sześćdziesiąt cztery.
Krok 3. Przekątna ściany. Ściana sześcianu jest kwadratem o boku 4.
d z indeksem s równa się cztery pierwiastki z dwóch.
Krok 4. Przekątna bryły.
d równa się cztery pierwiastki z trzech.
Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej wynosi 96, objętość 64, przekątna ściany ma długość cztery pierwiastki z dwóch, a przekątna bryły cztery pierwiastki z trzech.
Ćwiczenie dwa. Prostopadłościan
Prostopadłościan ma krawędzie długości 3, 4 i 12. Oblicz jego pole powierzchni całkowitej, objętość i przekątną bryły.
Rozwiązanie krok po kroku – ćwiczenie dwa
Krok 1. Pole powierzchni całkowitej. Prostopadłościan ma trzy pary przystających ścian.
P z indeksem c równa się dwa razy, otwórz nawias, trzy razy cztery plus trzy razy dwanaście plus cztery razy dwanaście, zamknij nawias.
P z indeksem c równa się dwa razy, otwórz nawias, dwanaście plus trzydzieści sześć plus czterdzieści osiem, zamknij nawias, czyli sto dziewięćdziesiąt dwa.
Krok 2. Objętość.
V równa się trzy razy cztery razy dwanaście, czyli sto czterdzieści cztery.
Krok 3. Przekątna bryły.
d równa się pierwiastek z trzy do kwadratu plus cztery do kwadratu plus dwanaście do kwadratu.
d równa się pierwiastek z dziewięć plus szesnaście plus sto czterdzieści cztery, czyli pierwiastek ze stu sześćdziesięciu dziewięciu, czyli trzynaście.
Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej wynosi 192, objętość 144, a przekątna bryły ma długość 13.
Ćwiczenie trzy. Od pola do krawędzi
Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 294. Oblicz długość jego krawędzi, objętość i przekątną bryły.
Rozwiązanie krok po kroku – ćwiczenie trzy
Krok 1. Wyznacz długość krawędzi. Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni całkowitej sześcianu.
Sześć a do kwadratu równa się dwieście dziewięćdziesiąt cztery.
a do kwadratu równa się czterdzieści dziewięć, więc a równa się siedem.
Wybieramy wartość dodatnią, ponieważ długość krawędzi nie może być ujemna.
Krok 2. Objętość.
V równa się siedem do potęgi trzeciej, czyli trzysta czterdzieści trzy.
Krok 3. Przekątna bryły.
d równa się siedem pierwiastków z trzech.
Odpowiedź: krawędź sześcianu ma długość 7, objętość wynosi 343, a przekątna bryły ma długość siedem pierwiastków z trzech.
Ćwiczenie cztery. Od przekątnej do brakującej krawędzi
Podstawa prostopadłościanu ma wymiary 9 na 12, a przekątna bryły ma długość 17. Oblicz trzecią krawędź i objętość prostopadłościanu.
Rozwiązanie krok po kroku – ćwiczenie cztery
Krok 1. Oblicz przekątną podstawy. Podstawa jest prostokątem o bokach 9 i 12.
p do kwadratu równa się dziewięć do kwadratu plus dwanaście do kwadratu.
p do kwadratu równa się osiemdziesiąt jeden plus sto czterdzieści cztery, czyli dwieście dwadzieścia pięć, więc p równa się piętnaście.
Krok 2. Wyznacz trzecią krawędź. Przekątna podstawy, trzecia krawędź i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny.
Piętnaście do kwadratu plus c do kwadratu równa się siedemnaście do kwadratu.
Dwieście dwadzieścia pięć plus c do kwadratu równa się dwieście osiemdziesiąt dziewięć, więc c do kwadratu równa się sześćdziesiąt cztery, a c równa się osiem.
Krok 3. Oblicz objętość.
V równa się dziewięć razy dwanaście razy osiem, czyli osiemset sześćdziesiąt cztery.
Odpowiedź: trzecia krawędź ma długość 8, a objętość prostopadłościanu wynosi 864.
Sekcja piętnaście Podsumowanie
Zapamiętaj
Dla sześcianu o krawędzi a: P z indeksem c równa się sześć a do kwadratu.
V równa się a do potęgi trzeciej.
Przekątna ściany równa się a pierwiastek z dwóch, a przekątna bryły równa się a pierwiastek z trzech.
Dla prostopadłościanu o krawędziach a, b, c: P z indeksem c równa się dwa razy, otwórz nawias, a b plus a c plus b c, zamknij nawias.
V równa się a b c.
d równa się pierwiastek z sumy a do kwadratu, b do kwadratu i c do kwadratu.
Najważniejszy sposób myślenia w tej lekcji: nie zaczynaj od wzoru. Najpierw ustal, czego szukasz i jaki trójkąt prostokątny można znaleźć w bryle. Ten sam schemat wykorzystamy później w zadaniach z graniastosłupami, ostrosłupami i kątami w stereometrii.